n 0 के लिए,int_0^{2pi } {frac{{x{{sin }^{2n | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $.गुणधर्म $\int_0^a {f(x)dx = \int_0^a {f(a - x)dx} }$

Vedclass · Accepted Answer

${\pi ^2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $.गुणधर्म $\int_0^a {f(x)dx = \int_0^a {f(a - x)dx} }$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(2\pi - x){{\sin }^{2n}}(2\pi - x)}}{{{{\sin }^{2n}}(2\pi - x) + {{\cos }^{2n}}(2\pi - x)}}dx} $$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(2\pi - x){{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:$2I = \int_0^{2\pi } {\frac{{2\pi {{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $$I = \pi \int_0^{2\pi } {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $गुणधर्म $\int_0^{2a} {f(x)dx = 2\int_0^a {f(x)dx} }$ का उपयोग करते हुए यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:$I = 2\pi \int_0^{\pi } {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $$I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $ (समीकरण $i$)इसी प्रकार,$I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\cos }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $ (समीकरण $ii$)$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {1 dx} = 4\pi \left( \frac{\pi }{2} \right) = 2{\pi ^2}$अतः,$I = {\pi ^2}$.

$n > 0$ के लिए,$\int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}\,dx = } $

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मान लीजिए $g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx$,जहाँ $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$,$x \in R$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यदि $I_1 = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}} {\cos ^2}x\,dx$,$I_2 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}} {\cos ^2}x\,dx$ और $I_3 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}} dx$ है; तो

$\int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx = $ . . . . . . .

$\int_{-\pi / 15}^{\pi / 15} \frac{\cos 5 x}{1+e^{5 x}} d x=$

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