मान लीजिए g(t) = int_{-pi/2}^{pi/2} cos left( | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$। ध्यान दें कि $f(-x) = \log_e \left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) = \log_e \left(\frac{1}

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$\sqrt{2} g(1) = g(0)$

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(D) दिया गया है $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$। ध्यान दें कि $f(-x) = \log_e \left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) = \log_e \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\right) = -f(x)$। अतः,$f(x)$ एक विषम फलन है।$g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right) \cos(f(x)) - \sin \left(\frac{\pi}{4} t\right) \sin(f(x)) \right] \, dx$.चूंकि $f(x)$ विषम है,$\cos(f(x))$ एक सम फलन है और $\sin(f(x))$ एक विषम फलन है।इसलिए,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin \left(\frac{\pi}{4} t\right) \sin(f(x)) \, dx = 0$.अतः,$g(t) = \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right) \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(f(x)) \, dx$.मान लीजिए $C = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(f(x)) \, dx$। तब $g(t) = C \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right)$।$g(1) = C \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{C}{\sqrt{2}}$ और $g(0) = C \cos(0) = C$.इस प्रकार,$g(1) = \frac{g(0)}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{2} g(1) = g(0)$।

मान लीजिए $g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx$,जहाँ $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$,$x \in R$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

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$\int_{-1}^{1} \sin^3 x \cos^2 x \, dx = $

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin x+100 \cos x}{\sin x+\cos x} \,dx = \ldots$ ($\text{$\pi$ में}$)

$\int_{-5}^{5} \log \left(\frac{7-x}{7+x}\right) dx =$

यदि $f(x) = \int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt$ और $g(x) = \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ है, तो $f(x) + g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0$ है,तो

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