माना x 0 के लिए,h(x) = begin{cases} frac{1} | vedclass

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Question

(A) फलन $h(x)$ को थोमे फलन (Thomae's function) के रूप में जाना जाता है। $1$. किसी भी परिमेय संख्या $x = \frac{p}{q}$ (जहाँ $p, q$ सह-अभाज्य हैं) के लि

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$h(x)$,$(0, \infty)$ में सभी $x$ के लिए असंतत है।

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(A) फलन $h(x)$ को थोमे फलन (Thomae's function) के रूप में जाना जाता है। $1$. किसी भी परिमेय संख्या $x = \frac{p}{q}$ (जहाँ $p, q$ सह-अभाज्य हैं) के लिए,$h(x) = \frac{1}{q}$ होता है। जैसे-जैसे $x$ किसी परिमेय संख्या के करीब पहुँचता है,आस-पास की अपरिमेय संख्याओं के लिए $h(x)$ का मान $0$ के करीब पहुँचता है। चूँकि $\frac{1}{q} 
eq 0$,इसलिए फलन प्रत्येक परिमेय बिंदु पर असंतत है। अतः,कथन $C$ सत्य है। $2$. किसी भी अपरिमेय संख्या $x$ के लिए,$h(x) = 0$ होता है। किसी भी $\epsilon > 0$ के लिए,किसी भी अंतराल में केवल सीमित संख्या में ही परिमेय संख्याएँ $\frac{p}{q}$ होती हैं जिनके लिए $\frac{1}{q} \geq \epsilon$ हो। अतः,जैसे-जैसे $x$ किसी अपरिमेय संख्या के करीब पहुँचता है,$h(x)$ की सीमा $0$ होती है। चूँकि अपरिमेय बिंदुओं पर $h(x) = 0$ है,इसलिए फलन प्रत्येक अपरिमेय बिंदु पर संतत है। अतः,कथन $B$ सत्य है। $3$. चूँकि फलन अपरिमेय बिंदुओं पर संतत है और परिमेय बिंदुओं पर असंतत है,इसलिए यह $(0, \infty)$ में सभी $x$ के लिए असंतत नहीं है। अतः,कथन $A$ गलत है। $4$. चूँकि फलन प्रत्येक परिमेय बिंदु पर असंतत है,इसलिए यह किसी भी परिमेय बिंदु पर अवकलनीय नहीं है। अतः,कथन $D$ सत्य है। निष्कर्ष: कथन $A$ सत्य नहीं है।

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