एक वास्तविक संख्या r के लिए,[r] को r से कम या | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $n = [a]$ है। तब $a = n + f$,जहाँ $0  [a]^k$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $[(n+f)^k] > n^k$। द्विपद विस्तार द्वार

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$k \leq \frac{1}{a-[a]}+1$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $n = [a]$ है। तब $a = n + f$,जहाँ $0 हमें $[a^k] > [a]^k$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $[(n+f)^k] > n^k$। द्विपद विस्तार द्वारा,$(n+f)^k = n^k + k n^{k-1} f + \binom{k}{2} n^{k-2} f^2 + \dots + f^k$। शर्त $[a^k] > n^k$ के सत्य होने के लिए,$(n+f)^k \geq n^k + 1$ होना चाहिए। विस्तार के पहले दो पदों का उपयोग करते हुए,$n^k + k n^{k-1} f > n^k$,जो दर्शाता है कि $k n^{k-1} f > 1$ है। चूंकि $n \geq 1$,इसलिए $n^{k-1} \geq 1$,अतः $k f > 1$ इस असमिका के लिए एक आवश्यक शर्त है। इस प्रकार,$k > \frac{1}{f} = \frac{1}{a-[a]}$। सबसे छोटा ऐसा पूर्णांक $k$,$k \leq \frac{1}{a-[a]} + 1$ को संतुष्ट करता है।

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