यदि b,a के मान की तुलना में बहुत छोटा है,ताकि | vedclass

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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{a-rb} = \frac{1}{a} \sum_{r=1}^{n} (1 - \frac{rb}{a})^{-1}$ है।द्विपद विस्तार $(1-x)^{-1} = 1 + x +

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$\frac{b^2}{3a^3}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{a-rb} = \frac{1}{a} \sum_{r=1}^{n} (1 - \frac{rb}{a})^{-1}$ है।द्विपद विस्तार $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए:$S = \frac{1}{a} \sum_{r=1}^{n} (1 + \frac{rb}{a} + \frac{r^2b^2}{a^2} + \dots)$.$\frac{b}{a}$ की उच्च घातों को उपेक्षित करने पर:$S = \frac{1}{a} [n + \frac{b}{a} \sum r + \frac{b^2}{a^2} \sum r^2]$.योग सूत्रों $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:$S = \frac{n}{a} + \frac{b}{2a^2} n^2 + \frac{b^2}{3a^3} n^3$.$\alpha n + \beta n^2 + \gamma n^3$ के साथ तुलना करने पर,$\gamma = \frac{b^2}{3a^3}$ प्राप्त होता है।

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$^nC_1 \sum_{r=0}^1 {^1C_r} + ^nC_2 \left( \sum_{r=0}^2 {^2C_r} \right) + ^nC_3 \left( \sum_{r=0}^3 {^3C_r} \right) + \dots + ^nC_n \left( \sum_{r=0}^n {^nC_r} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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