વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે,ધારો કે [x] એ x થી નાન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.કારણ કે $x \in [k, k+1)$ માટે $[x] = k$ થાય,તેથી સંકલનને આ રીતે લખી શકાય:$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{

Vedclass · Accepted Answer

$91$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.કારણ કે $x \in [k, k+1)$ માટે $[x] = k$ થાય,તેથી સંકલનને આ રીતે લખી શકાય:$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{x\} dx = \sum_{k=1}^{n-1} k \int_k^{k+1} (x-k) dx$.ધારો કે $u = x-k$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=k, u=0$ અને જ્યારે $x=k+1, u=1$.તેથી,$\int_k^{k+1} (x-k) dx = \int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} ight]_0^1 = \frac{1}{2}$.આમ,$I = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$.આપણને આપેલ છે કે $I > 2013$,તેથી $\frac{n(n-1)}{4} > 2013$.$n(n-1) > 8052$.કારણ કે $90 	imes 89 = 8010$ અને $91 	imes 90 = 8190$ થાય છે,તેથી અસમતાનું પાલન કરતો નાનામાં નાનો પૂર્ણાંક $n = 91$ છે.

Similar Questions

$\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} \,dx$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^n x + \tan^{n-2} x) d(x - [x])$ ની કિંમત શોધો : (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે)

જો $[x]$ એ $x$ થી વધુ ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક હોય,તો $\int_{-0.5}^{1.5} x^2[x] d x=$

જો સંકર સંખ્યા $(1-\cos \theta+2 i \sin \theta)^{-1}$ નો વાસ્તવિક ભાગ $\theta \in(0, \pi)$ માટે $\frac{1}{5}$ હોય,તો સંકલન $\int_{0}^{\theta} \sin x \,dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{(1+x^{2}) \sqrt{1-x^{2}}} $ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module