કોઈપણ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે સાબિત કરો કે $AB + BC + CD + DA > AC + BD$.
(N/A) ત્રિકોણમાં,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો દ્વારા બનતા ત્રિકોણોને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $\triangle ABC$ માં,$AB + BC > AC$ (સમીકરણ $1$).
$2$. $\triangle ADC$ માં,$AD + CD > AC$ (સમીકરણ $2$).
$3$. $\triangle ABD$ માં,$AB + AD > BD$ (સમીકરણ $3$).
$4$. $\triangle BCD$ માં,$BC + CD > BD$ (સમીકરણ $4$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + BC + AD + CD) > 2AC$ મળે છે.
સમીકરણ $3$ અને $4$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$ મળે છે.
આ બંને પરિણામી અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો દ્વારા બનતા ત્રિકોણોને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $\triangle ABC$ માં,$AB + BC > AC$ (સમીકરણ $1$).
$2$. $\triangle ADC$ માં,$AD + CD > AC$ (સમીકરણ $2$).
$3$. $\triangle ABD$ માં,$AB + AD > BD$ (સમીકરણ $3$).
$4$. $\triangle BCD$ માં,$BC + CD > BD$ (સમીકરણ $4$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + BC + AD + CD) > 2AC$ મળે છે.
સમીકરણ $3$ અને $4$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$ મળે છે.
આ બંને પરિણામી અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$.
Explore More
Similar Questions
$D$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુ $AC$ પરનું કોઈ બિંદુ છે,જ્યાં $AB = AC$ છે. સાબિત કરો કે $CD < BD$.
Medium
View Solutionઆપેલ આકૃતિમાં,$PN$ અને $QM$ બંને રેખાખંડ $PQ$ ને લંબ છે. વળી,$X$ એ $PQ$ અને $MN$ બંનેનું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\triangle PNX \cong \triangle QMX$.
Easy
View Solutionત્રિકોણ $ABC$ માં,$D$ એ બાજુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે જેથી $BD = \frac{1}{2} AC$ થાય. સાબિત કરો કે $\angle ABC$ કાટખૂણો છે.
Difficult
View Solution$ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ અને $D$ એ $BC$ પરનું એક બિંદુ છે જેથી $AD \perp BC$ થાય. $\angle BAD = \angle CAD$ સાબિત કરવા માટે,એક વિદ્યાર્થીએ નીચે મુજબની પ્રક્રિયા કરી:
$\triangle ABD$ અને $\triangle ACD$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે)
$\angle B = \angle C$ (કારણ કે $AB = AC$)
અને $\angle ADB = \angle ADC$
તેથી,$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ $(AAS)$
તેથી,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$
ઉપરોક્ત તર્કમાં શું ખામી છે?
$\triangle ABD$ અને $\triangle ACD$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે)
$\angle B = \angle C$ (કારણ કે $AB = AC$)
અને $\angle ADB = \angle ADC$
તેથી,$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ $(AAS)$
તેથી,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$
ઉપરોક્ત તર્કમાં શું ખામી છે?
Medium
View Solutionત્રિકોણ $ABC$ અને $PQR$ માં,$AB = AC$,$\angle C = \angle P$ અને $\angle B = \angle Q$ છે. તો આ બે ત્રિકોણ
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo