કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$f_n:(0, \infty) \rightarrow R$ ને $f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $x \in(0, \infty)$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2(f_j(0))=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}(1+f_j'(0)) \sec ^2(f_j(0))=10$
$(C)$ કોઈપણ નિશ્ચિત ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$\lim _{x \rightarrow \infty} \tan (f_n(x))=\frac{1}{n}$
$(D)$ કોઈપણ નિશ્ચિત ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2(f_n(x))=1$

ધારો કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ એક બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(3) = 18$, $f'(3) = 0$, અને $f''(3) = 4$ થાય. તો $\lim_{x \rightarrow 1} \left( \log_{e} \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

જો વિધેય $f$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત હોય:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{જ્યારે } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{જ્યારે } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{જ્યારે } 1 < x < \infty \end{cases}$
તો $x=1$ આગળ,$f$ એ:

ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ બે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે જે $f(x)=\begin{cases} -|x+3| & , x < 0 \\ e^{x} & , x \geq 0 \end{cases}$ અને $g(x)=\begin{cases} x^{2}+k_{1} x & , x < 0 \\ 4 x+k_{2} & , x \geq 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $k_{1}$ અને $k_{2}$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે. જો $(g \circ f)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $(g \circ f)(-4)+(g \circ f)(4)$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના વિધાનો માટે $T$ અથવા $F$ ના પ્રારંભિક અક્ષરોનો સાચો ક્રમ આપો. જો વિધાન સાચું હોય તો $T$ અને જો ખોટું હોય તો $F$ નો ઉપયોગ કરો.
વિધાન-$1$: જો $f: R \rightarrow R$ અને $c \in R$ એવા હોય કે $f$ એ $(c - \delta, c)$ માં વધતું વિધેય હોય અને $(c, c + \delta)$ માં ઘટતું વિધેય હોય,તો $f$ ને $c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે. જ્યાં $\delta$ એ પૂરતી નાની ધન સંખ્યા છે.
વિધાન-$2$: ધારો કે $f: (a, b) \rightarrow R, c \in (a, b)$. તો $f$ પાસે $x = c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય અને નતિપરિવર્તન બિંદુ બંને ન હોઈ શકે.
વિધાન-$3$: વિધેય $f(x) = x^2 |x|$ એ $x = 0$ આગળ બે વાર વિકલનીય છે.
વિધાન-$4$: ધારો કે $f: [c - 1, c + 1] \rightarrow [a, b]$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે કે જેથી $f$ એ $c$ આગળ વિકલનીય છે અને $f'(c) \neq 0$,તો $f^{-1}$ પણ $f(c)$ આગળ વિકલનીય છે.

ધારો કે $y = f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \text{જો } x \neq 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$. તો નીચેનામાંથી કયો આલેખ $y = f(x)$ ને શ્રેષ્ઠ રીતે રજૂ કરે છે?