દરેક $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

બધા $n \in \mathbb{N}$ માટે,જો $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 > x$ હોય,તો $x=$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિત કરો:
$\frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે:
$2n < (n+2)!$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$x^{n}-y^{n}$ એ $x-y$ વડે વિભાજ્ય છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ $x \neq y$ હોય તેવા કોઈપણ પૂર્ણાંકો છે.

બધા $n \ge 1$ માટે,સાબિત કરો કે: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$