प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए जहाँ -1

Question

(C) दिया गया है $A(x) = \frac{1}{1-x^2} \begin{bmatrix} 1 & -x \ -x & 1 \end{bmatrix}$.हम गुणनफल $A(x)A(y)$ की गणना करते हैं:$A(x)A(y) = \frac{1}{1-x

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$A(z) = A(x)A(y)$

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(C) दिया गया है $A(x) = \frac{1}{1-x^2} \begin{bmatrix} 1 & -x \ -x & 1 \end{bmatrix}$.हम गुणनफल $A(x)A(y)$ की गणना करते हैं:$A(x)A(y) = \frac{1}{1-x^2} \begin{bmatrix} 1 & -x \ -x & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{1-y^2} \begin{bmatrix} 1 & -y \ -y & 1 \end{bmatrix}$$= \frac{1}{(1-x^2)(1-y^2)} \begin{bmatrix} 1+xy & -(x+y) \ -(x+y) & 1+xy \end{bmatrix}$$= \frac{1+xy}{(1-x^2)(1-y^2)} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{x+y}{1+xy} \ -\frac{x+y}{1+xy} & 1 \end{bmatrix}$चूँकि $1-z^2 = 1 - (\frac{x+y}{1+xy})^2 = \frac{(1+xy)^2 - (x+y)^2}{(1+xy)^2} = \frac{1+2xy+x^2y^2 - x^2-2xy-y^2}{(1+xy)^2} = \frac{(1-x^2)(1-y^2)}{(1+xy)^2}$,इसलिए $\frac{1}{1-z^2} = \frac{(1+xy)^2}{(1-x^2)(1-y^2)}$.अतः,$A(x)A(y) = \frac{1}{1-z^2} \begin{bmatrix} 1 & -z \ -z & 1 \end{bmatrix} = A(z)$.

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