किसी theta in (0, frac{pi}{2}) के लिए, मान ली | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} \sec^{2} 	heta = 8$ के लिए, इसे $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8 \cos^{2} 	heta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ

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$8$

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(C) अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} \sec^{2} 	heta = 8$ के लिए, इसे $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8 \cos^{2} 	heta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^{2} = 8$ और $b^{2} = 8 \cos^{2} 	heta$ है। $e_{1} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \cos^{2} 	heta}$. $l_{1} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(8 \cos^{2} 	heta)}{\sqrt{8}} = 4 \sqrt{2} \cos^{2} 	heta$. दीर्घवृत्त $x^{2} \sec^{2} 	heta + y^{2} = 6$ के लिए, इसे $\frac{x^{2}}{6 \cos^{2} 	heta} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^{2} = 6$ और $b^{2} = 6 \cos^{2} 	heta$ है। $e_{2} = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \cos^{2} 	heta} = \sin 	heta$. $l_{2} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(6 \cos^{2} 	heta)}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{6} \cos^{2} 	heta$. दिया गया है कि $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} 	heta + 1)$, इसलिए $1 + \cos^{2} 	heta = \sin^{2} 	heta (1 + \frac{1}{\cos^{2} 	heta}) = \sin^{2} 	heta (\frac{\cos^{2} 	heta + 1}{\cos^{2} 	heta}) = 	an^{2} 	heta (1 + \cos^{2} 	heta)$. चूँकि $1 + \cos^{2} 	heta 
eq 0$, इसलिए $	an^{2} 	heta = 1$ प्राप्त होता है, अतः $	heta = \frac{\pi}{4}$. $	heta = \frac{\pi}{4}$ के लिए, $\cos^{2} 	heta = \frac{1}{2}$, $e_{1} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$, $l_{1} = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{2}$. $e_{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $l_{2} = 2 \sqrt{6} (\frac{1}{2}) = \sqrt{6}$. अतः $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) 	an^{2} 	heta = (\frac{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}) \cdot 1 = \frac{2 \sqrt{12}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$.

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