વિધેય $f(x) = x^{40} - x^{20}$ માટે,અંતરાલ $[0, 1]$ માં નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધો.

$2 \ cm$ બાજુવાળા એક ચોરસનો વિચાર કરો. તેને બાજુની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક ખૂણેથી કાપવામાં આવે છે. આમ બનતી બે સમતલીય આકૃતિઓની પરિમિતિના સરવાળાનું મહત્તમ મૂલ્ય કેટલું હશે?

ધારો કે $S=(-1, \infty)$ અને $f: S \rightarrow R$ એ $f(x)=\int_{-1}^x (e^t-1)^{11}(2t-1)^5(t-2)^7(t-3)^{12}(2t-10)^{61} dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $p$ એ $x$ ની એવી કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો છે જ્યાં $f(x)$ એ $S$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,અને $q$ એ $x$ ની એવી કિંમતોનો સરવાળો છે જ્યાં $f(x)$ એ $S$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. તો,$p^2+2q$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right)$. ધારો કે $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એ $g(x) = 2^{\alpha x} + 2^{\alpha(1-x)}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2^{7/6}$ છે
$(B)$ $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $1 + 2^{1/3}$ છે
$(C)$ વિધેય $g(x)$ એક કરતા વધુ બિંદુએ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે
$(D)$ વિધેય $g(x)$ એક કરતા વધુ બિંદુએ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x)=|x|+|x^2-1|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. જે બિંદુઓ પર $f$ સ્થાનિક મહત્તમ અથવા સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે તેવા કુલ બિંદુઓની સંખ્યા શોધો.

જો $3 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકમાં મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતો લંબવૃત્તીય શંકુ અંતર્ગત હોય,તો આ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ($cm^2$ માં) કેટલું થાય?