फलन f(x) = e^{sin |x|} - |x|, x in R के लिए, | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = e^{\sin |x|} - |x|$ है।
सबसे पहले, $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें। फलन $f(x)$ में $|x|$ पद है, जो $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। इसलि

Vedclass · Accepted Answer

कथन $I$ असत्य है लेकिन कथन $II$ सत्य है

Vedclass · Answer

(D) फलन $f(x) = e^{\sin |x|} - |x|$ है।
सबसे पहले, $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें। फलन $f(x)$ में $|x|$ पद है, जो $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, $f(x)$, $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः, कथन $I$ असत्य है।
अब, अंतराल $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ में कथन $II$ के लिए विचार करें। $x < 0$ के लिए, $|x| = -x$ होता है। अतः, $f(x) = e^{\sin(-x)} - (-x) = e^{-\sin x} + x$ होगा।
अवकलन करने पर, $f'(x) = e^{-\sin x}(-\cos x) + 1 = 1 - e^{-\sin x}\cos x$ प्राप्त होता है।
$x \in (-\pi, -\frac{\pi}{2})$ के लिए, $\sin x \in (-1, 0)$ और $\cos x \in (-1, 0)$ है।
चूँकि $\sin x$ ऋणात्मक है, इसलिए $-\sin x$ धनात्मक है, अतः $e^{-\sin x} > e^0 = 1$ होता है। साथ ही, $\cos x$ ऋणात्मक है।
अतः, $-e^{-\sin x}\cos x$ एक धनात्मक संख्या है। इसलिए, $f'(x) = 1 + (	ext{धनात्मक मान}) > 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f'(x) > 0$ है, इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ में वर्धमान है। अतः, कथन $II$ सत्य है।

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