किन प्राकृतिक संख्याओं n in N के लिए,असमिका 2 | vedclass

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Question

(B) दी गई असमिका: $2^n > n+1$. $n=1$ के लिए: $2^1 > 1+1 \Rightarrow 2 > 2$,जो असत्य है। $n=2$ के लिए: $2^2 > 2+1 \Rightarrow 4 > 3$,जो सत्य है। $n=3$

Vedclass · Accepted Answer

$\forall n \geq 2$

Vedclass · Answer

(B) दी गई असमिका: $2^n > n+1$. $n=1$ के लिए: $2^1 > 1+1 \Rightarrow 2 > 2$,जो असत्य है। $n=2$ के लिए: $2^2 > 2+1 \Rightarrow 4 > 3$,जो सत्य है। $n=3$ के लिए: $2^3 > 3+1 \Rightarrow 8 > 4$,जो सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,मान लीजिए कि किसी $k \geq 2$ के लिए $2^k > k+1$ सत्य है। हमें यह दिखाना है कि $2^{k+1} > (k+1)+1 = k+2$ है। चूंकि $2^k > k+1$,दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर $2^{k+1} > 2k+2$ प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि $2k+2 = (k+2) + k$ है। चूंकि $k \geq 2$,इसलिए $k > 0$,अतः $2k+2 > k+2$ है। इस प्रकार,$2^{k+1} > k+2$ सभी $n \geq 2$ के लिए सत्य है।

किन प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए,असमिका $2^n > n+1$ मान्य है?

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मान लीजिए $S(k) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$. तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$7^{n}-3^{n}$,$4$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \dots\left(1+\frac{1}{n}\right)=(n+1)$

दिया गया है ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ और ${U_0} = 2$,${U_1} = 3$,तो सभी $n \in N$ के लिए ${U_n}$ का मान है

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