दिया गया है ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ और ${U_0} = 2$,${U_1} = 3$,तो सभी $n \in N$ के लिए ${U_n}$ का मान है

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि एक अनुक्रम $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \ldots$ के लिए,जहाँ $d_{1}=2$ और $d_{k}=\frac{d_{k-1}}{k}$ सभी $k \geq 2$ के लिए परिभाषित है,तब इसका सामान्य पद $d_{n}=\frac{2}{n!}$ सभी $n \in N$ के लिए होता है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए जहाँ $n \geq 2$:
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं $n > 1$ के लिए $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$ है।

कथन $P(n): 1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \dots + n \times n! = (n + 1)! - 1$ है

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए,$x^{n}-y^{n}$,$x-y$ से विभाज्य है,जहाँ $x$ और $y$ कोई भी पूर्णांक हैं और $x \neq y$ है।