गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं $n > 1$ के लिए $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$ है।

(A) माना $P(n): \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$ है।
चरण $1$: $n = 2$ के लिए,व्यंजक $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24}$ है।
चूंकि $\frac{14}{24} > \frac{13}{24}$,इसलिए $P(2)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \in N, k > 1$ के लिए सत्य है,अर्थात $\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}$ है।
चरण $3$: $n = k+1$ के लिए,हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1) > \frac{13}{24}$ है।
$P(k+1) = P(k) + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} = P(k) + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)}$ है।
चूंकि $\frac{1}{2k+1} > \frac{1}{2k+2}$,इसलिए $P(k+1) > P(k) > \frac{13}{24}$ है।
अतः,यदि $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n > 1$ के लिए सत्य है।