ગણિતના અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n > 1$ માટે $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$.

(A) ધારો કે $P(n): \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$.
પગલું $1$: $n = 2$ માટે,પદાવલિ $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24}$ છે.
$\frac{14}{24} > \frac{13}{24}$ હોવાથી,$P(2)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N, k > 1$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}$.
પગલું $3$: $n = k+1$ માટે,આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1) > \frac{13}{24}$.
$P(k+1) = P(k) + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} = P(k) + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)}$.
$\frac{1}{2k+1} > \frac{1}{2k+2}$ હોવાથી,$P(k+1) > P(k) > \frac{13}{24}$.
આમ,$P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
ગણિતના અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n > 1$ માટે સત્ય છે.