गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,संख्याएँ $a_n$,$a_0=1$ और $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$ $(n \geq 0)$ द्वारा परिभाषित हैं,तो $a_n=$

प्रत्येक $n \in N$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + n \cdot 2^{n} = (n-1) 2^{n+1} + 2$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$7^{n}-3^{n}$,$4$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$