गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): 1 = \frac{3^{1}-1}{2} = \frac{2}{2} = 1,$ जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1} = \frac{3^{k}-1}{2}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक के योग पर विचार करें:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}+3^{(k+1)-1}$
$= (1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}) + 3^{k}$
$= \frac{3^{k}-1}{2} + 3^{k}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{3^{k}-1 + 2 \cdot 3^{k}}{2}$
$= \frac{(1+2) \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3 \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3^{k+1}-1}{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।