सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए,यदि $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 > x$ है,तो $x=$

सभी $n \ge 1$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि एक अनुक्रम $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \ldots$ के लिए,जहाँ $d_{1}=2$ और $d_{k}=\frac{d_{k-1}}{k}$ सभी $k \geq 2$ के लिए परिभाषित है,तब इसका सामान्य पद $d_{n}=\frac{2}{n!}$ सभी $n \in N$ के लिए होता है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $2+4+6+\ldots+2n = n^2+n$.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n \geq 2$ के लिए $n^{3}-n$,$6$ से विभाज्य है।

सिद्ध कीजिए कि सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $2^n > n$ है।