गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n \geq 2$ के लिए $n^{3}-n$,$6$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $P(n): n^{3}-n$,सभी $n \geq 2$ के लिए $6$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=2$ के लिए,
$P(2): 2^{3}-2 = 8-2 = 6$,जो $6$ से विभाज्य है।
अतः,$P(2)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \geq 2$ के लिए सत्य है,अर्थात $k^{3}-k = 6m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए।
चरण $3$: $P(k+1)$ को सत्य सिद्ध करने के लिए,हमें यह दिखाना होगा कि $(k+1)^{3}-(k+1)$,$6$ से विभाज्य है।
$(k+1)^{3}-(k+1) = (k^{3}+3k^{2}+3k+1) - k - 1$
$= (k^{3}-k) + 3k^{2}+3k$
$= (k^{3}-k) + 3k(k+1)$
चूंकि $k^{3}-k = 6m$ और $k(k+1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,इसलिए यह $2$ से विभाज्य है। अतः,$3k(k+1)$,$3 \times 2 = 6$ से विभाज्य है।
इसलिए,$(k^{3}-k) + 3k(k+1) = 6m + 6n = 6(m+n)$,जो $6$ से विभाज्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \geq 2$ के लिए सत्य है।