सभी $n \ge 1$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$

माना $P(n)$ कथन है: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,बायां पक्ष $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$ है और दायां पक्ष $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ है। चूंकि बायां पक्ष = दायां पक्ष,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}$ $(1)$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \times 2} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
$P(k+1)$ के बाएं पक्ष से शुरू करते हुए:
$= \left[ \frac{1}{1 \times 2} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} \right] + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$
$= \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$ ($(1)$ का उपयोग करते हुए)
$= \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \ge 1$ के लिए सत्य है।