गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: $\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 2$ के लिए।

(N/A) माना $P(n): \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$,जहाँ $n \geq 2$ है।
$n=2$ के लिए,$P(2): \sqrt{2} < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1.707$। चूँकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $1.414 < 1.707$ सत्य है।
माना $P(k)$ सत्य है: $\sqrt{k} < \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{i}}$।
हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1): \sqrt{k+1} < \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{i}}$।
हम जानते हैं कि $\sqrt{k+1} - \sqrt{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} < \frac{1}{\sqrt{k+1}}$।
अतः,$\sqrt{k+1} < \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} < \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{i}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} = \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{i}}$।
इस प्रकार,$P(k+1)$ सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \geq 2$ के लिए सत्य है।