गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1+2+3+\ldots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^{2}$

माना दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात,
$P(n): 1+2+3+\ldots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^{2}$
चरण $1$: $n=1$ के लिए जाँचें:
$1 < \frac{1}{8}(2(1)+1)^{2} = \frac{9}{8} = 1.125$
चूँकि $1 < 1.125$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात,
$1+2+\ldots+k < \frac{1}{8}(2k+1)^{2}$ ...........$(i)$
चरण $3$: सिद्ध कीजिए कि $P(k+1)$ सत्य है:
$(k+1)$ तक के योग पर विचार करें:
$(1+2+\ldots+k) + (k+1) < \frac{1}{8}(2k+1)^{2} + (k+1)$
$= \frac{1}{8} \left\{ (2k+1)^{2} + 8(k+1) \right\}$
$= \frac{1}{8} \left\{ 4k^{2} + 4k + 1 + 8k + 8 \right\}$
$= \frac{1}{8} \left\{ 4k^{2} + 12k + 9 \right\}$
$= \frac{1}{8} (2k+3)^{2}$
$= \frac{1}{8} \{2(k+1)+1\}^{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।