ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું પ્રમાણ આપો:
$1+2+3+\ldots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^{2}$

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે,
$P(n): 1+2+3+\ldots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^{2}$
પગલું $1$: $n=1$ માટે ચકાસો:
$1 < \frac{1}{8}(2(1)+1)^{2} = \frac{9}{8} = 1.125$
$1 < 1.125$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે,
$1+2+\ldots+k < \frac{1}{8}(2k+1)^{2}$ ...........$(i)$
પગલું $3$: સાબિત કરો કે $P(k+1)$ સત્ય છે:
$(k+1)$ સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(1+2+\ldots+k) + (k+1) < \frac{1}{8}(2k+1)^{2} + (k+1)$
$= \frac{1}{8} \left\{ (2k+1)^{2} + 8(k+1) \right\}$
$= \frac{1}{8} \left\{ 4k^{2} + 4k + 1 + 8k + 8 \right\}$
$= \frac{1}{8} \left\{ 4k^{2} + 12k + 9 \right\}$
$= \frac{1}{8} (2k+3)^{2}$
$= \frac{1}{8} \{2(k+1)+1\}^{2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.