गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,संख | vedclass

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Question

(B) दिया गया है,$a_0 = 1$ और $a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n$। $n = 0$ के लिए: $a_1 = 3(0)^2 + 0 + a_0 = 0 + 0 + 1 = 1$। $n = 1$ के लिए: $a_2 = 3(1)^2 + 1 +

Vedclass · Accepted Answer

$n^3 - n^2 + 1$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है,$a_0 = 1$ और $a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n$। $n = 0$ के लिए: $a_1 = 3(0)^2 + 0 + a_0 = 0 + 0 + 1 = 1$। $n = 1$ के लिए: $a_2 = 3(1)^2 + 1 + a_1 = 3 + 1 + 1 = 5$। विकल्पों की जाँच करने पर: विकल्प $(B)$ के लिए,$P(n) = n^3 - n^2 + 1$: $P(0) = 0^3 - 0^2 + 1 = 1 = a_0$। $P(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 = a_1$। $P(2) = 2^3 - 2^2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5 = a_2$। चूँकि प्रारंभिक पदों के लिए मान समान हैं,इसलिए सही व्यंजक $a_n = n^3 - n^2 + 1$ है।

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गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+(n-1)d) = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

सभी $n \ge 1$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

यदि $n \in N$ है,तो कथन $8n + 16 \leq 2^n$ किसके लिए सत्य है?

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