यदि $n \in N$ है,तो कथन $8n + 16 \leq 2^n$ किसके लिए सत्य है?

मान लीजिए कि $P(n)$ यह कथन दर्शाता है कि $n^2 + n$ विषम है। यह देखा गया है कि $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$। $P(n)$ सभी के लिए सत्य है:

कथन $P(n): n^2 - n + 37$ एक अभाज्य संख्या है,पर विचार करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए,$x^{n}-y^{n}$,$x-y$ से विभाज्य है,जहाँ $x$ और $y$ कोई भी पूर्णांक हैं और $x \neq y$ है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि $a_{1}=3$ और सभी प्राकृतिक संख्याओं $k > 1$ के लिए $a_{k}=7 a_{k-1}$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ के लिए,सभी $n \in N$ के लिए सामान्य पद $a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}$ है।

सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $(1 + x)^n \ge (1 + nx),$ जहाँ $x > -1.$