कथन $P(n): n^2 - n + 37$ एक अभाज्य संख्या है,पर विचार करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सी असमिका सत्य है?

सिद्ध कीजिए कि सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $2^n > n$ है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$10^{2n-1} + 1$,$11$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n \geq 2$ के लिए $n^{3}-n$,$6$ से विभाज्य है।