$\lambda$ ની કઈ કિંમત(ઓ) માટે,સુરેખ સમીકરણોની જોડી $\lambda x + y = \lambda^2$ અને $x + \lambda y = 1$ માટે:
$(i)$ ઉકેલ ન મળે?
$(ii)$ અનંત ઉકેલો મળે?
$(iii)$ અનન્ય ઉકેલ મળે?

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી $\lambda x + y = \lambda^2$ અને $x + \lambda y = 1$ છે.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a_1 = \lambda, b_1 = 1, c_1 = -\lambda^2$ અને $a_2 = 1, b_2 = \lambda, c_2 = -1$ મળે છે.
$(i)$ ઉકેલ ન મળે તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} \neq \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ અને $\lambda^2 \neq 1$. $\lambda = 1$ માટે આ શક્ય નથી. $\lambda = -1$ માટે,$\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1} \neq \frac{-(-1)^2}{-1} \Rightarrow -1 = -1 \neq 1$. આમ,$\lambda = -1$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
$(ii)$ અનંત ઉકેલો માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} = \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ અને $\lambda = \lambda^3$. આ $\lambda = 1$ માટે સાચું છે.
$(iii)$ અનન્ય ઉકેલ માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
$\frac{\lambda}{1} \neq \frac{1}{\lambda} \Rightarrow \lambda^2 \neq 1 \Rightarrow \lambda \neq \pm 1$. આમ,$\pm 1$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે અનન્ય ઉકેલ મળે છે.