बढ़ते क्रम में चार संख्याएँ एक $A.P.$ बनाती हैं। उन संख्याओं का योग $32$ है और चरम पदों के गुणनफल का मध्य पदों के गुणनफल से अनुपात $7:15$ है। वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

(2, 6, 10, 14) मान लीजिए कि $A.P.$ में चार संख्याएँ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $32$ है:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 32$
$4a = 32 \implies a = 8$.
अतः संख्याएँ $(8-3d), (8-d), (8+d), (8+3d)$ हैं।
चरम पदों का गुणनफल $(8-3d)(8+3d) = 64 - 9d^2$ है।
मध्य पदों का गुणनफल $(8-d)(8+d) = 64 - d^2$ है।
चरम पदों के गुणनफल और मध्य पदों के गुणनफल का अनुपात $7:15$ है:
$\frac{64-9d^2}{64-d^2} = \frac{7}{15}$
$15(64-9d^2) = 7(64-d^2)$
$960 - 135d^2 = 448 - 7d^2$
$512 = 128d^2$
$d^2 = 4 \implies d = 2$ (चूंकि संख्याएँ बढ़ते क्रम में हैं,इसलिए $d > 0$)।
$a=8$ और $d=2$ रखने पर:
$8-3(2) = 2$
$8-2 = 6$
$8+2 = 10$
$8+3(2) = 14$
अतः संख्याएँ $2, 6, 10, 14$ हैं।