$m$ द्रव्यमान के चार समान कण अपने पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण बल के कारण $r$ त्रिज्या के वृत्त में एक ही दिशा में परिक्रमा कर रहे हैं। कण का वेग क्या होगा?

एक सर्पिल आकाशगंगा को $z=0$ पर स्थित समान सतह द्रव्यमान घनत्व वाली एक अत्यंत पतली डिस्क के रूप में माना जा सकता है। दो तारे $A$ और $B$ क्रमशः $2z_{0}$ और $z_{0}$ (जहाँ $z_{0} \ll$ डिस्क का त्रिज्यीय विस्तार) की ऊँचाई से विरामावस्था से शुरू करते हैं और डिस्क की ओर गिरते हैं,दूसरी तरफ पार करते हैं और आवर्ती दोलन करते हैं। $A$ और $B$ के आवर्तकालों का अनुपात है

पृथ्वी से चंद्रमा और सूर्य की औसत दूरी क्रमशः $0.4 \times 10^6 \, km$ और $150 \times 10^6 \, km$ लें। उनके द्रव्यमान क्रमशः $8 \times 10^{22} \, kg$ और $2 \times 10^{30} \, kg$ हैं। पृथ्वी की त्रिज्या $6400 \, km$ है। मान लीजिए $\Delta F_1$ पृथ्वी पर निकटतम और दूरस्थ बिंदुओं पर चंद्रमा द्वारा लगाए गए बलों का अंतर है और $\Delta F_2$ पृथ्वी पर निकटतम और दूरस्थ बिंदुओं पर सूर्य द्वारा लगाए गए बल का अंतर है। तो,$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2}$ के सबसे निकटतम संख्या है

यदि पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई बढ़ाई जाती है,तो इसकी

$R$ त्रिज्या का एक ठोस गोला अपने केंद्र से $3R$ की दूरी पर रखे $m$ द्रव्यमान के एक कण को $F_{1}$ बल से गुरुत्वाकर्षण द्वारा आकर्षित करता है। अब,गोले में $\frac{R}{2}$ त्रिज्या की एक गोलाकार गुहा (कैविटी) बनाई जाती है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) ताकि गुहा गोले के केंद्र और बाहरी सतह को स्पर्श करे। कण पर लगने वाला बल $F_{2}$ हो जाता है। $F_{1} : F_{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

पृथ्वी के केंद्र से दूरी $d$ के साथ गुरुत्वीय त्वरण $g$ में परिवर्तन को किसके द्वारा सबसे अच्छी तरह दर्शाया गया है? ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या)