विमीय विश्लेषण के आधार पर,निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण सही है?

यदि ऊर्जा $E = G^p h^q c^r$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $c$ प्रकाश की गति है,तो क्रमशः $p, q$ और $r$ के मान ज्ञात कीजिए।

एक सामान्य दहन इंजन में,गैस के अणु द्वारा किया गया कार्य $W = \alpha^{2} \beta e^{\frac{-\beta x^{2}}{kT}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ विस्थापन है,$k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ तापमान है। यदि $\alpha$ और $\beta$ स्थिरांक हैं,तो $\alpha$ की विमाएँ क्या होंगी?

ऊर्जा का $SI$ मात्रक $J = kg \, m^{2} \, s^{-2}$ है; चाल $v$ का मात्रक $m \, s^{-1}$ और त्वरण $a$ का मात्रक $m \, s^{-2}$ है। विमीय तर्कों के आधार पर गतिज ऊर्जा $(K)$ के लिए नीचे दिए गए सूत्रों में से आप किन सूत्रों को गलत ठहरा सकते हैं ($m$ वस्तु का द्रव्यमान है):
$(a)$ $K = m^{2} v^{3}$
$(b)$ $K = (1/2) m v^{2}$
$(c)$ $K = m a$
$(d)$ $K = (3/16) m v^{2}$
$(e)$ $K = (1/2) m v^{2} + m a$

एक विलगित निकाय (isolated system) में गैस के एक अणु द्वारा किया गया कार्य $W = \alpha \beta^{2} e^{-\frac{x^{2}}{\alpha kT}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ विस्थापन है,$k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है,$T$ तापमान है,और $\alpha$ तथा $\beta$ नियतांक हैं। तो $\beta$ की विमा क्या होगी?

यदि एक नैनोकैपेसिटर की धारिता को विद्युत आवेश $e,$ बोहर त्रिज्या $a_0,$ प्लांक नियतांक $h$ और प्रकाश की गति $c$ के संयोजन से बने एक मात्रक $u$ के रूप में मापा जाता है,तो