फलन f(x) = (1 + frac{1}{x})^x दिया गया है। तो | vedclass

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Question

(A) माना $y = (1 + \frac{1}{x})^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है। जब $x 	o \infty$,तब $

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$(1, e)$

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(A) माना $y = (1 + \frac{1}{x})^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है। जब $x 	o \infty$,तब $\ln(y) = x(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \dots) = 1 - \frac{1}{2x} + \dots 	o 1$,अतः $y 	o e$. जब $x 	o -\infty$,तब $\ln(y) = x(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \dots) = 1 - \frac{1}{2x} + \dots 	o 1$,अतः $y 	o e$. जब $x 	o 0^+$,तब $\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x}) 	o 0 \cdot \infty$. $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर,$\lim_{x 	o 0^+} \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x} = \lim_{t 	o \infty} \frac{\ln(1+t)}{t} = 0$,अतः $y 	o e^0 = 1$. अवकलज $f'(x) = f(x) [\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}]$ का विश्लेषण करने पर,फलन $(-\infty, -1)$ और $(0, \infty)$ पर वर्धमान है। अतः,फलन का परिसर $(1, e)$ है।

फलन $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ दिया गया है। तो फलन $f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात कीजिए।

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