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Question

(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।$x > 0$ के लिए,$[x] = 0$,इसलि

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$k = 2$ के लिए,$f(x)$ में $x = 0$ पर गैर-हटाने योग्य असंततता है

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(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।$x > 0$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $	ext{sgn}[x] = 0$. अतः,$f(x) = \frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}$.$RHL = \mathop {\lim }\limits_{h 	o 0^+} \frac{\ln(1+h^2)}{1-\cos h} = \mathop {\lim }\limits_{h 	o 0^+} \frac{\ln(1+h^2)}{h^2} \cdot \frac{h^2}{1-\cos h} = 1 \cdot 2 = 2$.$x $LHL = \mathop {\lim }\limits_{h 	o 0^+} \frac{\ln(h^2)}{1-\cos(h)} = \mathop {\lim }\limits_{h 	o 0^+} \frac{\ln(h^2)}{h^2/2} = -\infty$.चूँकि $LHL$ का अस्तित्व नहीं है ($-\infty$ है),इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।अतः,$k$ के किसी भी मान के लिए $f(x)$ में $x = 0$ पर गैर-हटाने योग्य असंततता है।

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