જો કોઈ અક્ષરનું પુનરાવર્તન ન થાય,તો અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોના પ્રથમ $10$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને કેટલા $4$-અક્ષરી કોડ બનાવી શકાય?

$INDEPENDENCE$ શબ્દના અક્ષરોની ગોઠવણીની સંખ્યા શોધો. આમાંથી કેટલી ગોઠવણીઓમાં શબ્દો $I$ થી શરૂ થાય છે અને $P$ પર સમાપ્ત થાય છે?

$n = 1, 2, 3, . . . , 50$ માટે,ધારો કે $A = \{ a_n \mid a_n = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}} (\frac{n}{2}), & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} (\frac{n-1}{2}), & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \end{cases} \}$ અને $B$ એ $A$ ના તમામ ભિન્ન ઘટકોનો ગણ છે. ગણ $B$ ના તમામ ઘટકોના એવા ક્રમચયોની સંખ્યા જેમાં બેકી પૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં હોય,તે છે:

ચાર વક્તાઓ એક સભાને સંબોધિત કરશે જ્યાં વક્તા $Q$ હંમેશા $P$ પહેલા બોલશે. તો, વક્તાઓના ક્રમની ગોઠવણી કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$1, 3, 5, 7, 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $5000$ અને $10000$ ની વચ્ચે બનાવી શકાય તેવી સંખ્યાઓની સંખ્યા $..........$ છે.

$ARRANGEMENT$ શબ્દના અક્ષરોની ગોઠવણીમાં,જેમાં બે $E$ પાસપાસે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા કેટલી છે?