$0, 2, 3, 5, 7$ का उपयोग करके $3$ अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?

$3$ प्रशिक्षुओं,$4$ प्रोफेसरों और $6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में $2$ प्रशिक्षु और $3$ अनुसंधान सहयोगी होने चाहिए,तो इसे कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

$16$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक क्रिकेट टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है,यदि $2$ विशेष खिलाड़ियों को हमेशा शामिल किया जाना है?

यदि $\sum_{i=0}^4 {^{4+i}}C_i + \sum_{j=6}^9 {^{3+j}}C_j = {^x}C_y$ ($x$ एक अभाज्य संख्या है),तो निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?

यदि $S_3$,$S_1$ और $S_2$ के बाद भाषण देना चाहता है,तो $5$ वक्ता $S_1, S_2, S_3, S_4$ और $S_5$ एक के बाद एक कितने तरीकों से भाषण दे सकते हैं?

यदि $^{n + 1}{C_3} = 2{\,^n}{C_2}$ है,तो $n =$