भोपाल और ग्वालियर के बीच $4$ बसें चलती हैं। यदि एक व्यक्ति ग्वालियर से भोपाल एक बस से जाता है और दूसरी (अलग) बस से वापस ग्वालियर आता है,तो कुल संभावित तरीके कितने हैं?

$n$ सफेद और $n$ काली गेंदें हैं जिन पर $1, 2, 3, ..., n$ अंकित है। इन गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि पड़ोसी गेंदें अलग-अलग रंगों की हों?

एक कक्षा में छात्रों को उनकी पिछली परीक्षा के अंकों के अनुसार बैठाया जाता है। एक बार ऐसा होता है कि चार छात्रों को समान अंक मिलते हैं और इसलिए उनका रैंक भी समान होता है। उनकी बैठने की व्यवस्था तय करने के लिए,शिक्षक सभी संभावित व्यवस्थाओं को अलग-अलग कागज़ के टुकड़ों पर लिखना चाहते हैं ताकि लॉटरी द्वारा इनमें से एक को चुना जा सके। कितने कागज़ के टुकड़ों की आवश्यकता है?

जब प्रत्येक छात्र एक या अधिक पुरस्कार ले सकता है,तो $5$ पुरस्कारों को चार छात्रों के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

यदि अनुपात $C(2n, 3) : C(n, 3)$,$11 : 1$ के बराबर है,तो $n$ ज्ञात कीजिए।

चार बच्चों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से खड़ा किया जा सकता है ताकि उनमें से दो,$A$ और $B$,हमेशा साथ रहें?