यदि अनुपात $C(2n, 3) : C(n, 3)$,$11 : 1$ के बराबर है,तो $n$ ज्ञात कीजिए।

एक समतल में $12$ बिंदुओं (जिनमें से $4$ संरेख हैं) द्वारा निर्मित त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $S$,$xy$-समतल में सभी त्रिभुजों का समुच्चय है,जिनमें से प्रत्येक का एक शीर्ष मूल बिंदु पर है और अन्य दो शीर्ष पूर्णांक निर्देशांकों के साथ निर्देशांक अक्षों पर स्थित हैं। यदि $S$ में प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल $50$ वर्ग इकाई है,तो समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या है:

$5$ सही-गलत प्रकार के प्रश्नों के एक सेट के लिए,किसी भी छात्र ने सभी सही उत्तर नहीं लिखे हैं,और किन्हीं भी $2$ छात्रों ने उत्तरों का समान क्रम नहीं दिया है। यह संभव होने के लिए कक्षा में छात्रों की अधिकतम संख्या क्या है?

$1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ अंकों का उपयोग करके $8$ अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें विषम अंक विषम स्थानों पर न हों?

यदि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,तो $3$ लड़कों और $4$ लड़कियों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?