$1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके $1000$ से छोटी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? (पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है)

$5$ सही-गलत प्रकार के प्रश्नों के एक सेट के लिए,किसी भी छात्र ने सभी सही उत्तर नहीं लिखे हैं,और किन्हीं भी $2$ छात्रों ने उत्तरों का समान क्रम नहीं दिया है। यह संभव होने के लिए कक्षा में छात्रों की अधिकतम संख्या क्या है?

समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 12\}$ को समान आकार के तीन समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित किया जाना है। इस प्रकार $A \cup B \cup C = S$ और $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \emptyset$ है। $S$ को विभाजित करने के तरीकों की संख्या है

एक सीधी रेखा $AB$ पर $m$ बिंदु हैं और दूसरी रेखा $AC$ पर $n$ बिंदु हैं,जिनमें से कोई भी बिंदु $A$ नहीं है। जब $(i)$ $A$ को बाहर रखा जाता है और $(ii)$ $A$ को शामिल किया जाता है,तब इन बिंदुओं से त्रिभुज बनाए जाते हैं। तो दोनों स्थितियों में त्रिभुजों की संख्या का अनुपात क्या है?

'$BHARAT$' शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं? इनमें से कितने शब्दों में '$B$' और '$H$' कभी भी एक साथ नहीं होंगे?

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ अंकों का उपयोग करके $5000$ और $10,000$ के बीच कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि प्रत्येक संख्या में कोई भी अंक एक से अधिक बार न आए?