यदि PQ अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^ | vedclass

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Question

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta)$ हैं। चूँकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है,$Q$ के निर्देशांक $(\alpha, -\beta)$ हैं।$PQ = 2|\beta|$ और $OP = \sqrt{\

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$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$

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(D) माना $P$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta)$ हैं। चूँकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है,$Q$ के निर्देशांक $(\alpha, -\beta)$ हैं।$PQ = 2|\beta|$ और $OP = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$।चूँकि $	riangle OPQ$ समबाहु है,$OP = PQ$,इसलिए $OP^2 = PQ^2$।$\alpha^2 + \beta^2 = 4\beta^2 \Rightarrow \alpha^2 = 3\beta^2$।चूँकि $P(\alpha, \beta)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{\alpha^2}{a^2} - \frac{\beta^2}{b^2} = 1$।$\alpha^2 = 3\beta^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{3\beta^2}{a^2} - \frac{\beta^2}{b^2} = 1$।$\beta^2 \left( \frac{3}{a^2} - \frac{1}{b^2} ight) = 1$।चूँकि $\beta^2 > 0$,इसलिए $\frac{3}{a^2} - \frac{1}{b^2} > 0$,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$।$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$e^2 - 1 > \frac{1}{3}$।$e^2 > \frac{4}{3} \Rightarrow e > \frac{2}{\sqrt{3}}$।

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यदि रेखा $ax + by = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{p^2} - \frac{y^2}{q^2} = 1$ का अभिलंब है,तो $\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2}$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $a, b, p, q \in R^+$):

मान लीजिए कि $16 x^{2}-3 y^{2}-32 x-12 y=44$ एक अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है। तो,

अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ के किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल है

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