यदि C_{0} + 5 cdot C_{1} + 9 cdot C_{2} + ldo | vedclass

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Question

(C) माना $S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1) \cdot ^{25}C_{r}$.गुणधर्म $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए:$S = 1 \cdot ^{25}C_{0} + 5 \cdot ^{25}C_

Vedclass · Accepted Answer

$51$

Vedclass · Answer

(C) माना $S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1) \cdot ^{25}C_{r}$.गुणधर्म $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए:$S = 1 \cdot ^{25}C_{0} + 5 \cdot ^{25}C_{1} + 9 \cdot ^{25}C_{2} + \ldots + 101 \cdot ^{25}C_{25}$.क्रम उलटने पर:$S = 101 \cdot ^{25}C_{25} + 97 \cdot ^{25}C_{24} + \ldots + 1 \cdot ^{25}C_{0}$.दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:$2S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1 + 101 - 4r) \cdot ^{25}C_{r} = \sum_{r=0}^{25} (102) \cdot ^{25}C_{r}$.$2S = 102 \sum_{r=0}^{25} {^{25}C_{r}} = 102 \cdot 2^{25}$.$S = 51 \cdot 2^{25}$.$2^{25} \cdot k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 51$ प्राप्त होता है।

यदि $C_{0} + 5 \cdot C_{1} + 9 \cdot C_{2} + \ldots + (101) \cdot C_{25} = 2^{25} \cdot k$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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