यदि $-1 < x < 1$ के लिए $x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}=0$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2(1+y) = y^2(1+x)$
विस्तार करने पर: $x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - y^2 = xy^2 - x^2y$
गुणनखंड करने पर: $(x-y)(x+y) = -xy(x-y)$
चूंकि $x \neq y$,हम $(x-y)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$x+y = -xy$
$y + xy = -x$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} \right]$
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{1+x-x}{(1+x)^2} \right] = -\frac{1}{(1+x)^2}$
अतः,सिद्ध हुआ।