જો $a$ અને $b$ એ $x^{2}-3x+p=0$ ના બીજ હોય અને $c$ અને $d$ એ $x^{2}-12x+q=0$ ના બીજ હોય,જ્યાં $a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોય,તો સાબિત કરો કે $(q+p):(q-p)=17:15$.
આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એ $x^{2}-3x+p=0$ ના બીજ છે,તેથી $a+b=3$ અને $ab=p$ $(1)$.
આપેલ છે કે $c$ અને $d$ એ $x^{2}-12x+q=0$ ના બીજ છે,તેથી $c+d=12$ અને $cd=q$ $(2)$.
$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,ધારો કે $a=x, b=xr, c=xr^{2}, d=xr^{3}$.
$(1)$ પરથી,$x+xr=3 \Rightarrow x(1+r)=3$.
$(2)$ પરથી,$xr^{2}+xr^{3}=12 \Rightarrow xr^{2}(1+r)=12$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{xr^{2}(1+r)}{x(1+r)} = \frac{12}{3}$ $\Rightarrow r^{2}=4$ $\Rightarrow r=\pm 2$.
કિસ્સો $I$: જો $r=2$,તો $x(1+2)=3 \Rightarrow x=1$. તેથી $a=1, b=2, c=4, d=8$. એટલે કે $p=ab=2$ અને $q=cd=32$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{32+2}{32-2} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
કિસ્સો $II$: જો $r=-2$,તો $x(1-2)=3 \Rightarrow x=-3$. તેથી $a=-3, b=6, c=-12, d=24$. એટલે કે $p=ab=-18$ અને $q=cd=-288$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{-288-18}{-288+18} = \frac{-306}{-270} = \frac{17}{15}$.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં $(q+p):(q-p)=17:15$ મળે છે.
આપેલ છે કે $c$ અને $d$ એ $x^{2}-12x+q=0$ ના બીજ છે,તેથી $c+d=12$ અને $cd=q$ $(2)$.
$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,ધારો કે $a=x, b=xr, c=xr^{2}, d=xr^{3}$.
$(1)$ પરથી,$x+xr=3 \Rightarrow x(1+r)=3$.
$(2)$ પરથી,$xr^{2}+xr^{3}=12 \Rightarrow xr^{2}(1+r)=12$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{xr^{2}(1+r)}{x(1+r)} = \frac{12}{3}$ $\Rightarrow r^{2}=4$ $\Rightarrow r=\pm 2$.
કિસ્સો $I$: જો $r=2$,તો $x(1+2)=3 \Rightarrow x=1$. તેથી $a=1, b=2, c=4, d=8$. એટલે કે $p=ab=2$ અને $q=cd=32$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{32+2}{32-2} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
કિસ્સો $II$: જો $r=-2$,તો $x(1-2)=3 \Rightarrow x=-3$. તેથી $a=-3, b=6, c=-12, d=24$. એટલે કે $p=ab=-18$ અને $q=cd=-288$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{-288-18}{-288+18} = \frac{-306}{-270} = \frac{17}{15}$.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં $(q+p):(q-p)=17:15$ મળે છે.
Explore More
Similar Questions
ધારો કે એક $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $2, p$ અને $q$ છે,જ્યાં $q \neq 2$,જે અનુક્રમે એક $A.P.$ ના $7^{\text{th}}, 8^{\text{th}}$ અને $13^{\text{th}}$ પદો છે. જો $G.P.$ નું $5^{\text{th}}$ પદ એ $A.P.$ નું $n^{\text{th}}$ પદ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.
DifficultJEE MAIN 2024
View Solutionબે સંખ્યાઓ $x_1$ અને $x_2$ ના સમગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક અનુક્રમે $18$ અને $16\frac{8}{13}$ છે. $|x_1 - x_2|$ નું મૂલ્ય શોધો.
Difficult
View Solutionજો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોય અને $a^2, b^2, c^2$ એ $G.P.$ માં હોય,જેથી $a < b < c$ અને $a+b+c = \frac{3}{4}$ થાય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.
DifficultJEE MAIN 2018
View Solutionધારો કે $A_1, G_1, H_1$ એ બે ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ના અનુક્રમે સમાંતર,સમગુણોત્તર અને હરાત્મક મધ્યક છે. $n \geq 2$ માટે,ધારો કે $A_n, G_n, H_n$ એ $A_{n-1}$ અને $H_{n-1}$ ના અનુક્રમે સમાંતર,સમગુણોત્તર અને હરાત્મક મધ્યક છે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $G_1 > G_2 > G_3 > \ldots$
$(B)$ $G_1 < G_2 < G_3 < \ldots$
$(C)$ $G_1 = G_2 = G_3 = \ldots$
$(D)$ $G_1 < G_3 < G_5 < \ldots$ અને $G_2 > G_4 > G_6 > \ldots$
$2.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$
$(B)$ $A_1 < A_2 < A_3 < \ldots$
$(C)$ $A_1 > A_3 > A_5 > \ldots$ અને $A_2 < A_4 < A_6 < \ldots$
$(D)$ $A_1 < A_3 < A_5 < \ldots$ અને $A_2 > A_4 > A_6 > \ldots$
$3.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $H_1 > H_2 > H_3 > \ldots$
$(B)$ $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$
$(C)$ $H_1 > H_3 > H_5 > \ldots$ અને $H_2 < H_4 < H_6 < \ldots$
$(D)$ $H_1 < H_3 < H_5 < \ldots$ અને $H_2 > H_4 > H_6 > \ldots$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $G_1 > G_2 > G_3 > \ldots$
$(B)$ $G_1 < G_2 < G_3 < \ldots$
$(C)$ $G_1 = G_2 = G_3 = \ldots$
$(D)$ $G_1 < G_3 < G_5 < \ldots$ અને $G_2 > G_4 > G_6 > \ldots$
$2.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$
$(B)$ $A_1 < A_2 < A_3 < \ldots$
$(C)$ $A_1 > A_3 > A_5 > \ldots$ અને $A_2 < A_4 < A_6 < \ldots$
$(D)$ $A_1 < A_3 < A_5 < \ldots$ અને $A_2 > A_4 > A_6 > \ldots$
$3.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $H_1 > H_2 > H_3 > \ldots$
$(B)$ $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$
$(C)$ $H_1 > H_3 > H_5 > \ldots$ અને $H_2 < H_4 < H_6 < \ldots$
$(D)$ $H_1 < H_3 < H_5 < \ldots$ અને $H_2 > H_4 > H_6 > \ldots$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક $14\frac{2}{5}$ છે અને સમગુણોત્તર મધ્યક $24$ છે. તો તેમાંથી મોટી સંખ્યા કઈ છે?
Difficult
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo