यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं,तो दर्शाइए कि $\frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}]$ त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल देता है। अतः,तीन बिंदुओं $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के संरेख होने की शर्त ज्ञात कीजिए। त्रिभुज के तल के लंबवत इकाई सदिश भी ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
$\Delta ABC$ का सदिश क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ और $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ है।
सदिश क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}[(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})]$
$= \frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{a}]$
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$,और $-\vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
सदिश क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}]$.
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
अतः,$\frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \vec{b}] = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = 0$ है।
त्रिभुज के तल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|} = \frac{\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}}{|\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|}$ है।