यदि alpha और beta द्विघात समीकरण x^2 + x sin | vedclass

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Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x \sin 	heta - 2 \sin 	heta = 0$ है।विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\sin 	heta$ और मू

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$\frac{2^{12}}{(\sin 	heta + 8)^{12}}$

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x \sin 	heta - 2 \sin 	heta = 0$ है।विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\sin 	heta$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -2 \sin 	heta$ है।हमें व्यंजक $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha^{-12} + \beta^{-12})(\alpha - \beta)^{24}}$ का मान ज्ञात करना है।हर (denominator) को सरल करने पर: $\alpha^{-12} + \beta^{-12} = \frac{1}{\alpha^{12}} + \frac{1}{\beta^{12}} = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}$.इस मान को व्यंजक में रखने पर: $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{\left(\frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}ight)(\alpha - \beta)^{24}} = \frac{(\alpha \beta)^{12}}{(\alpha - \beta)^{24}}$.हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta$,इसलिए $(\alpha - \beta)^{24} = ((\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta)^{12}$.अतः,$E = \left[ \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta} ight]^{12}$.$\alpha + \beta$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर: $E = \left[ \frac{-2 \sin 	heta}{(-\sin 	heta)^2 - 4(-2 \sin 	heta)} ight]^{12} = \left[ \frac{-2 \sin 	heta}{\sin^2 	heta + 8 \sin 	heta} ight]^{12}$.चूंकि $	heta \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $\sin 	heta 
eq 0$,हम $\sin 	heta$ को काट सकते हैं: $E = \left( \frac{-2}{\sin 	heta + 8} ight)^{12} = \frac{2^{12}}{(\sin 	heta + 8)^{12}}$.

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