यदि 1, log_y x, log_z y, -15 log_x z एक A.P. | vedclass

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Question

(D) माना $d$ एक $A.P.$ का सार्व अंतर है।तब,$\log_y x = 1 + d \implies x = y^{1+d}$$\log_z y = 1 + 2d \implies y = z^{1+2d}$$-15 \log_x z = 1 + 3d \imp

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उपरोक्त सभी

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(D) माना $d$ एक $A.P.$ का सार्व अंतर है।तब,$\log_y x = 1 + d \implies x = y^{1+d}$$\log_z y = 1 + 2d \implies y = z^{1+2d}$$-15 \log_x z = 1 + 3d \implies \log_x z = -\frac{1+3d}{15} \implies z = x^{-(1+3d)/15}$इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x = y^{1+d} = (z^{1+2d})^{1+d} = z^{(1+2d)(1+d)}$.साथ ही,$z = x^{-(1+3d)/15} \implies x = z^{-15/(1+3d)}$.$z$ के घातांकों की तुलना करने पर: $(1+2d)(1+d) = -\frac{15}{1+3d}$.$(1+d)(1+2d)(1+3d) = -15$.गुणनफल का विस्तार करने पर: $(1 + 3d + 2d^2)(1 + 3d) = 1 + 3d + 3d + 9d^2 + 2d^2 + 6d^3 = 6d^3 + 11d^2 + 6d + 1 = -15$.$6d^3 + 11d^2 + 6d + 16 = 0$.$d = -2$ की जाँच करने पर: $6(-8) + 11(4) + 6(-2) + 16 = -48 + 44 - 12 + 16 = 0$.अतः,$d = -2$ एक हल है।$d = -2$ के लिए: $\log_y x = 1 - 2 = -1 \implies x = y^{-1}$.$\log_z y = 1 + 2(-2) = -3 \implies y = z^{-3}$.चूंकि $x = y^{-1}$ और $y = z^{-3}$,इसलिए $x = (z^{-3})^{-1} = z^3$.अतः,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

यदि $1, \log_y x, \log_z y, -15 \log_x z$ एक $A.P.$ में हैं,तो

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The odd numbers are divided as follows:
Row $1$: $1, 3$
Row $2$: $5, 7, 9, 11$
Row $3$: $13, 15, 17, 19, 21, 23$
Then the sum of the $n^{th}$ row is:

निम्नलिखित श्रेणी का $n$-वाँ पद ज्ञात कीजिए:
$12, 72, 432, 2592, \dots$

एक अनुक्रम के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 4n + 15$ द्वारा दिया गया है। यदि $T_r$ अनुक्रम का $r$-वाँ पद है,तो $T_3 - T_1$ का मान क्या होगा?

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