यदि p, q, r समांतर श्रेणी (A.P.) में हैं और ध | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $p, q, r$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और धनात्मक हैं।चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $q = \frac{p + r}{2}$ होगा ......$(i)$द्विघात

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$\left| \frac{r}{p} - 7 \right| \ge 4\sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $p, q, r$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और धनात्मक हैं।चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $q = \frac{p + r}{2}$ होगा ......$(i)$द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।$D = q^2 - 4pr \ge 0$$q = \frac{p + r}{2}$ को असमिका में रखने पर:$\left( \frac{p + r}{2} \right)^2 - 4pr \ge 0$$\frac{p^2 + 2pr + r^2}{4} - 4pr \ge 0$$p^2 + 2pr + r^2 - 16pr \ge 0$$p^2 - 14pr + r^2 \ge 0$$p^2$ से भाग देने पर ($p > 0$ है):$1 - 14\left( \frac{r}{p} \right) + \left( \frac{r}{p} \right)^2 \ge 0$मान लीजिए $x = \frac{r}{p}$. तो $x^2 - 14x + 1 \ge 0$.पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x - 7)^2 - 49 + 1 \ge 0$$(x - 7)^2 \ge 48$$|x - 7| \ge \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$अतः,$\left| \frac{r}{p} - 7 \right| \ge 4\sqrt{3}$.

यदि $p, q, r$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और धनात्मक हैं,तो द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए शर्त क्या है?

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