यदि {x_1}, {x_2}, {x_3} तथा {y_1}, {y_2}, {y_ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ और ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।अतः,हम लिख सकते हैं: ${x_2} = r

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एक सीधी रेखा पर स्थित हैं

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(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ और ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।अतः,हम लिख सकते हैं: ${x_2} = r{x_1}, {x_3} = {r^2}{x_1}$ और ${y_2} = r{y_1}, {y_3} = {r^2}{y_1}$.यह जाँचने के लिए कि क्या बिंदु $({x_1}, {y_1}), ({x_2}, {y_2}), ({x_3}, {y_3})$ संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$मान रखने पर:क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(ry_1 - r^2y_1) + rx_1(r^2y_1 - y_1) + r^2x_1(y_1 - ry_1)|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2) + x_1y_1(r^3 - r) + x_1y_1(r^2 - r^3)|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2 + r^3 - r + r^2 - r^3)| = 0$.चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं और एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

यदि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ तथा ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात के साथ गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं,तो बिंदु $({x_1}, {y_1}), ({x_2}, {y_2})$ और $({x_3}, {y_3})$:

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