यदि {x_1}, {x_2}, {x_3}, ..., {x_n} एक A.P. म | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, ..., {x_n}$ एक $A.P.$ में हैं और सार्व अंतर $\alpha$ है,इसलिए प्रत्येक $k$ के लिए ${x_{k+1}} - {x_k} = \alpha$ है।हम

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sin (n - 1)\alpha}{\cos {x_1}\cos {x_n}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, ..., {x_n}$ एक $A.P.$ में हैं और सार्व अंतर $\alpha$ है,इसलिए प्रत्येक $k$ के लिए ${x_{k+1}} - {x_k} = \alpha$ है।हम $\sin \alpha = \sin({x_{k+1}} - {x_k})$ लिख सकते हैं।अतः,व्यंजक $\sum_{k=1}^{n-1} \sin \alpha \sec {x_k} \sec {x_{k+1}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sin({x_{k+1}} - {x_k})}{\cos {x_k} \cos {x_{k+1}}}$ हो जाता है।सर्वसमिका $	an A - 	an B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{k=1}^{n-1} (	an {x_{k+1}} - 	an {x_k})$ प्राप्त होता है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(	an {x_2} - 	an {x_1}) + (	an {x_3} - 	an {x_2}) + ... + (	an {x_n} - 	an {x_{n-1}})$।पदों के कटने के बाद,हमारे पास $	an {x_n} - 	an {x_1} = \frac{\sin({x_n} - {x_1})}{\cos {x_n} \cos {x_1}}$ बचता है।चूंकि ${x_n} = {x_1} + (n-1)\alpha$,इसलिए ${x_n} - {x_1} = (n-1)\alpha$ है।अतः,मान $\frac{\sin(n - 1)\alpha}{\cos {x_1} \cos {x_n}}$ प्राप्त होता है।

यदि ${x_1}, {x_2}, {x_3}, ..., {x_n}$ एक $A.P.$ में हैं जिनका सार्व अंतर $\alpha$ है,तो $\sin \alpha (\sec {x_1}\sec {x_2} + \sec {x_2}\sec {x_3} + ... + \sec {x_{n - 1}}\sec {x_n}) = $ का मान क्या होगा?

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