यदि $P, Q$ और $R$ एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं और $AD, A$ से $BC$ पर लंब है,तो सिद्ध कीजिए कि $P, Q, R$ और $D$ एकवृतीय (concyclic) हैं।

(N/A) हमें सिद्ध करना है कि $R, D, P$ और $Q$ एकवृतीय हैं।
$RD, QD, PR$ और $PQ$ को मिलाइए।
चूंकि $RP, AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदुओं $R$ और $P$ को जोड़ता है,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$RP \parallel AC$.
इसी प्रकार,$PQ \parallel AB$.
अतः,$ARPQ$ एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए,$\angle RAQ = \angle RPQ$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण) ... $(1)$
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,$DR$ कर्ण $AB$ पर माध्यिका है। इसलिए,$RA = RD$,जिसका अर्थ है $\angle 1 = \angle B$.
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुज $ACD$ में,$DQ$ कर्ण $AC$ पर माध्यिका है। इसलिए,$QA = QD$,जिसका अर्थ है $\angle 3 = \angle C$.
त्रिभुज $ABC$ में,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
साथ ही,$\triangle RDQ$ में,$\angle RDQ = 180^{\circ} - (\angle DRQ + \angle DQR) = 180^{\circ} - (2\angle B + 2\angle C) = 180^{\circ} - 2(\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - 2(180^{\circ} - \angle A) = 2\angle A - 180^{\circ}$.
वैकल्पिक रूप से,चक्रीय चतुर्भुज के गुण का उपयोग करते हुए,$\angle RPQ = \angle A$ और $\angle RDQ = \angle RDA + \angle ADQ = \angle RAD + \angle QAD = \angle A$. चूंकि $\angle RPQ = \angle A$ और $\angle RDQ = \angle A$,बिंदु $R, D, P, Q$ एकवृतीय हैं क्योंकि वे $RQ$ के एक ही ओर समान कोण अंतरित करते हैं।